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미와 수
13세기 토마스 아퀴나스(Thomas Aquinas, 1225~1275)는 미학의 기본에 관해 “균형이 있는 것을 볼 때, 사람은 기쁨을 느낀다”라고 했지만, 균형은 수학과도 무관하지 않다.
아름다움과 균형의 관계에서 우리는 미술과 수학의 관계를 감지할 수 있다. 각 나라 사람들은 저마다 다른 언어를 사용한다. 그러나 아름다운 꽃이나 훌륭한 그림을 보면 한결같이 즐거워하고 편안함을 느낀다.
백인, 흑인 가릴 것 없이 전세계 미녀들이 한 자리에 모여 맵시를 자랑하는 미스 유니버스 대회가 있다. 여기에서는 언제나 누가 보아도 아름다운 미녀를 뽑게 된다. 이처럼 인간이면 모두 함께 느끼는 아름다움의 표준을 갖는다.
뿐만 아니라 도자기의 곡선이나 피겨스케이팅 선수가 그려놓은 빙판 위 곡선의 아름다움, 옷의 선이나 색깔의 조화, 멋있고 세련된 미에는 모든 인간이 감동할 수 있다.
또한 음악에서 화음의 아름다움이나 건축물의 기하학적인 아름다움, 불상의 자연스러운 안정감 등은 동서양을 막론하고 누구나 느끼는 아름다움이다.
눈으로 보고 느끼는 시각적인 아름다움에는 불변의 법칙이 있으며 이는 수학의 틀 안에서 표현할 수 있다. 각 분야의 전문적인 특수한 형식을 떠나 사유와 미의 밑바닥에 흐르는 인간의 미의식과 지(知)에는 공통영역이 있는 것이다.
이성과 미의식
한편, 모든 인간은 공통적인 이성을 갖추고 있다. 이성은 곧 로고스(logos)이며 수학에서는 논리로 표현된다. 한편 예술활동의 기본은 직관이고 주로 정서에 의존한다.
따라서 수학과 예술 두 분야에 걸친 정신적 영역은 ‘논리와 정서’라는 대립되는 개념을 포괄적으로 수용하는 정신활동 속에서 이루어진다. 인간성의 밑바닥에 깔려 있는 중요한 정신성이 무시된 무미건조한 사유나 기교만을 일삼는 수학과 미술활동에는 큰 의의가 없다. 칠쟁이와 예술가, 셈쟁이와 수학자는 다르다.
수학을 교과서를 통해 배울 때는 주제가 선택되는 동기, 미적인 가치 등 내적 경험이 모두 무시되고, 다만 하나의 법칙을 얻어내기 위한 몰개성적인 논리만 부각된다. 또한 수학의 공리적인 전개에도 문제가 있다.
일단 공리가 설정되면 엄격한 논리가 이어져 나갈 뿐, 아무런 미의식이 작용하지 않으며 적어도 정서의 승화를 희구하는 예술활동과의 공통점을 전혀 찾아볼 수 없다.
그러나 미술에서 수학의 수법을 받아들여 적극적으로 수학이론을 응용하는 실용적인 입장을 취할 수는 있다. 가령 다빈치의 <최후의 만찬>과 같은 그림에서 사용되었던 원근법의 수법을 예로 들 수 있겠다.
기법(技法)의 문제를 떠나 수학의 성립과정을 정신사적인 입장에서 보고, 문화 전반에 흐르는 미의식의 시대적인 양식을 생각한다면, ‘수학은 무미건조한 논리체계’ 또는 ‘기술에 유용될 수 있는 이론'으로만 보는 것은 잘못된 생각임을 알 수 있다.
황금비
내접 오각형에 숨어 있는 황금비율은 아름다움이 곧 비례의 조화임을 말해준다. 조화에 대한 첫 인식은 음악의 경우와 마찬가지로 피타고라스까지 거슬러 올라간다.
그는 다음과 같이 말했다. “자연 현상에는 합리적인 배열이 있다. 연속적으로 이어져 있어, 그것이 하나의 법칙이 되어 있다. 그리고 그 관계는 양 또는 수로 표시할 수 있다.”
조화의 근본은 아름다움이다. 음악에서 현(絃) 길이의 비례관계에서 조화음을 발견한 희랍인은 조형미술에서도 조화미를 찾았다.
특히 그 비례 가운데서 1:1.618을 φ의 비율이라고 하며, 황금률(golden ratio)이라 한다. 황금비율의 간단한 작도법은 아래의 그림과 같다. 여기서 ABCD는 각 변이 1인 정사각형이며 O는 BC의 중점, AD의 길이는 피타고라스의 정리에 의하여 다음과 같은 수식이 성립한다.
이러한 황금비례는 다양한 고대 유적에서 발견되는데, 아테네의 파르테논이 그 대표적인 예이다.
이 신전은 현재 파괴되어 있으나 지붕은 복원되어 정확한 황금분할의 구형에 들어간다. 이 파르테논 신전을 측정해보면 유난히 √5 라는 수가 많이 나옴을 알 수 있다. 또한 황금분할을 이용한 미술활동은 현대의 작가들에게도 많다.
예를 들어 점묘화로 유명한 프랑스 인상파 화가 쇠라(G. Seurat, 1859～1891)의 ‘라파래도’에는 황금분할이 많이 내포되어 있으며 몬드리안(P.C Mondrian) 역시 추상적인 그림을 그리면서도 황금분할만은 좀처럼 포기하지 않았다.
피타고라스 시대와 쇠라 사이에는 무려 200년의 시대 차이가 있고 ‘선’과 ‘점’이라는 표현의 차이는 있으나 한결같이 황금비를 미의 기호로 삼고 있다. 고대는 물론, 현대에 이르기까지 미술의 기법은 크게 변화했어도 황금분할의 미(美)만은 그대로 지속하고 있는 것이다.
시대마다 그 풍조를 집약하는 세계관이 있다. 미술이나 수학은 모두 그 표현방법과 형식을 달리하지만 그 바탕에는 보편적인 시대의 풍조가 있다.
희랍의 황금기에는 유클리드적인 세계관이 미술을 지배했고, 사영(射影)기하학이 형성된 근세에는 원근법을 기본으로 하는 수법이 미술계를 지배했다. 사영적인 방법이 채택됨으로써 그림에 3차원의 느낌을 갖게 되었다.
원근법은 투시법이라고도 한다. 그것은 대상을 투시하여 본다는 뜻이다. 시각에는 초점이 있다. 따라서 시각을 투시하여 그린 그림은 현실감이 뚜렷해지는 것이다.
신라의 미술
삼국을 통일한 신라인들은 예술을 창조함에 있어 단순히 감각에만 호소하지 않고 미의 보편성을 희구하였다.
신라뿐만 아니라 백제, 고구려를 포함한 모든 한민족의 미의식에 깊은 호소력을 지닌 미술품을 창출해낸 것이다. 미를 감각에서 이성의 세계로까지 확장하였으며, 특히 종교적인 정열까지 포용하는 뛰어난 예술을 창조한 것이다.
그러한 예술 정신을 가장 뚜렷하게 표현하고 있는 건축물이 석굴암이다. 석굴암을 자세히 분석하여 각 부분을 수치로 나타내보면, 당시의 설계도를 구상할 수 있다. 일본인 학자 요네다는 석굴암을 보고 다음과 같은 결론을 내린 바 있다.
“기하학적인 도형이 미술적인 감각으로 정확히 구사되어 있다.
기본적으로 희랍 기하학의 경우와 마찬가지로 자(尺)와 콤퍼스만을 이용하였고, 기본적인 도형으로서는 정사각형과 대각선, 정삼각형과 꼭지점에서 밑변에 내린 수선, 원과 구, 육각형과 팔각형, 그리고 선분의 등분기법 등이 이용되어 있다.”
이와 같은 기하학적인 지식의 구사는 결코 우연한 기하학적 도형의 조합으로써 이루어진 것이 아니고, 모두가 하나의 통일된 미의식에 의해 조직적으로 설계된 것이다.
원래 동양수학의 정통은 대수학이나 예외적으로 천문(天文), 역산(曆算)을 다루는 ‘주비산경(周?算經)’이 있었다. 석굴암의 설계자는 이 주비산경을 충분히 소화하여 그 지식을 남김없이 석굴암의 설계에 구사한 것으로 여겨진다.
우리나라의 석굴암 내부 구조는 다음과 같이 √2의 연속이다. 희랍인이 √5에 대해 알고 있었다면 신라인은 √2에 대해 특별한 의미를 지니고 있었음을 알 수 있다. 석굴암의 반지름이 12자(지름은 24자)라는 것도 우연이 아니다.
그것은 하루의 시간인 12각(刻)과 일치한다. 굴의 천정은 전우주를 상징하고 있고, 원둘레 360도는 당시의 1년 날수를 나타내고 있다. 이렇듯 석굴암의 설계자는 전우주와 그 사이에 흐르는 시간을 수치로써 상징적으로 표현한 것이다.
주비산경은 피타고라스의 직각삼각형에 관한 정리, 즉 c2=a2+b2을 기본으로 하여 이론을 전개하였으나, 그 형식은 52=32+42이다.
통일신라시대 사찰의 설계에는 각 변의 길이 3, 4, 5인 직각삼각형에서 특히 5:4의 비를 택하여 만든 직사각형을 기본으로 삼고 있으며 이 직사각형의 대각선과 정사각형의 대각선인 1:√2의 비가 많이 이용되고 있다. √2와 √5는 정사각형에서 자와 콤퍼스를 이용하여 간단히 작도할 수 있는데 희랍인이 √5를 좋아했던 것과는 대조적으로 신라인은 √2에서 아름다움을 찾았음을 알 수 있다.
또한, 다보탑을 수학적으로 분석해 보면, 매우 흥미있는 원의 열(列)이 생긴다. 다보탑의 중심선에 중심을 둔 중요한 원의 계열을 그리면, 반지름 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
즉, O1의 반지름을 a로 하면 O2의 반지름은 a/2√2=a/√2이며, O3의 반지름은 1/√2(a/√2), O4의 반지름은 1/√2(a/2), O5의 반지름은 1/√2(a/2√2)가 된다. 거꾸로 O5의 반지름을 A로 하면, O4의 반지름은 √2A, O3의 반지름은 2A, O2의 반지름은 2√2A, O1의 반지름은 4A라는 관계가 드러난다.
신라인과 희랍인의 예술의 희구는 수치의 기준에 √2와 √5라는 다소의 차이가 있었을망정, 한결같이 일정한 수치를 기본으로 삼아 예술 속에 강한 보편의식을 심으려 했다. 흔히 우리들은 수학과 예술을 전혀 별개의 것으로 알고 있다. 국민학교 때부터 산수와 미술은 전혀 별개의 분야로 배워왔기 때문이다.
그러나 위대한 예술활동, 특히 모든 사람을 의식해서 만들어진 것에는 반드시라고 할 만큼 뚜렷한 합리적인 설계가 있고, 그 내용은 수로 표시된다. 이성과 정서는 결코 분리될 수 없으며, 훌륭한 예술에는 오직 일체화된 인간의 미의식이 명백하게 살아 있는 것이다.
현대의 미술
오늘날 문화형태의 특징 중 한 가지는 전문분야에 관한 세분화이며, 이 경향은 앞으로도 더욱 심화되어 나갈 것이다. 한편, 정신생활은 이들 전문화된 영역을 벗어나서 적극적으로 넓게 문화형태를 통합적인 차원에서 흡수해간다.
가령 4차원적, 위상적, 확률적 등의 술어는 한 세대 전까지만 해도 전문수학자만이 사용하는 것이었다. 그러나 오늘날 이들은 경제학, 사회학, 예술계 등 문화의 거의 모든 분야에서 거리낌없이 사용되고 있다. 이 현상은 일시적인 유행이 아니다.
앞으로도 더욱 더 문화형태가 세련되어 감에 따라 문화의 밑바닥을 이루는 수학을 의식하게 되고 널리 응용될 것이 틀림없다.
우연히 수학자가 그 속에 쓰여져 있는 활자를 무시하고 현대미술의 책을 펼쳐 보거나 반대로 미술가가 현대수학의 책을 보았을 때는 자칫하면 그 내용이 미술인지 수학인지를 구별하지 못할 대목을 보고 놀랄 것이다.
현대 기하학의 형식과 다름 없는 도형이 거의 그대로 현대미술의 훌륭한 작품으로 취급되고 있다. 또 기하학적인 도형은 냉혹하고, 흔히 말하는 정서의 순화를 목적으로 하는 미술과는 전혀 관계없는 것으로만 생각되지만, 뜻밖에 현대인의 감각은 수학적인 도형에서마저 미를 찾을 만큼 예민해진 것이다.
근세 이후 수학에서 형태의 미를 느낀다는 작가나 메마른 몰개성적인 수를 시어로 구사하는 시인이 나타나는 것도 이러한 시대 조류를 반영한 것이며 결코 우연은 아니다.
문화의 각 정문 영역은 다르더라도 공통적으로 인간의 문제를 다룬다. 그러기에 어느 특정 분야의 발달은 곧 그대로 다른 영역에 영향을 주는 상승작용을 거듭하게 되는 것이다.
전 인류가 공통적으로 음악과 미를 감상하고, 그 속에 내재하는 보편적인 수리를 발견하는 것은 모든 인간의 무의식 세계에는 수리적 인식과 관련된 공통의 미의식이 존재하기 때문이다.
카오스의 시대
자연은 카오스처럼 보이면서도, 깊은 곳에 질서를 가지고 있다. 물거품, 지진에 의한 지면의 균열, 화산의 폭발, 식물의 성장과정, 바닷물의 상태 등 모든 자연현상이 그러하다.
자연의 아름다움은 알고 보면, 그것이 지니는 법칙성이 단순하고, 늘 되풀이되는 기계적인 현상에서 비롯되는 것이다.
맨델브로(B. B. Mandelbrot)는 해안선, 나무의 모습, 강의 모양을 일반화하려는 목적으로 프랙탈이라는 개념을 발표했다.
프랙탈 도형의 특징은 ‘자기닮음(自己相似)’이라고 할 수 있는데, 이는 도형의 일부분이 전체를 축소한 형태로 되어 있는 상태를 말한다. “예술은 위대한 자연의 모방”이라고 한 것은 아리스토텔레스였지만, 프랙탈 이론은 자연을 미묘하게 모방한다는 뜻에서 위대한 예술이기도 하다.
컴퓨터 그래픽에서는 프랙탈 이론을 이용하여 재귀적인 프로그램으로 도형을 만들 수 있다. 그렇게 하면 동일한 형태가 무한히 되풀이되면서 ‘부분과 전체가 닮은’ 모양이 만들어지는데 이는 일견 자연보다도 더 자연스럽게 보이기도 한다.
이 그림이 친근하게 느껴지는 이유는 자연계의 기본법칙 속에 프랙탈적인 성질이 내재되어 있기 때문이다. 자연에는 우연성이 내재하고 있다(불확정적인 요소가 자연다움의 본질이다).
특히 도형의 형성 과정에 난수계(亂數系)를 개입시키면, 보다 복잡하고 자연스러운 모양이 생긴다. 가령 삼각형을 기본 도형으로 삼고 복잡한 산 모양을 만들어낼 수 있다.
삼각형의 각 변의 중점을 잡을 때, 유클리드 기하학의 선분처럼 일률적으로 그린다면 단순한 삼각형 모양 이 외에는 아무것도 나오지 않는다. 이 때 중점의 위치를 법선의 방향에서 난수로써 정해준다.
그 결과, 은박지를 손아귀에서 구겨놓은 것과 같은 산의 표면을 연상하게 하는 모양이 나온다. 자연에 내재하는 우연성을 요컨대 난수계로 모방하는 것이다.
기하학의 재미는 ‘기하학적인 직관’이 자극받을 때 생긴다. 수학의 묘미는 공리에서 출발해서 엄격한 논리의 전개를 통해 답을 내는 것으로 그치는 무미건조한 것은 아닐 것이다.
수학의 생명은 논리이지만 여기에는 단순히 논리가 아닌 미의식이 뒷받침되어 있다. 예술적 감흥이 따르지 않는 수학은 큰 의미가 없다.
그것은 단순한 논리의 틀을 훨씬 웃도는 것이다.
프랙탈 이론은 새로운 인식과 방법을 제시했으며 인간 지성이 단순히 논리만으로 되는 것이 아니며 미의식과 자연이 깊이 연관되어 있음을 알려주는 계기가 될 것이다.
글_김용운(수학문화연구소장)
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황금비율의 간단한 작도법은 위의 그림과 같다.
여기서의 ABCD는 각 변이 1인 정사각형이며
O는 BC의 중점,
AD의 길이는 피타고라스 정리에 의하여 √5/2,
따라서,
BC'=1/2+√5/2=1+√5/2 의 수식이 성립한다.
파르테논 신전의 정면 입면.
정면에 나타나는 기본적인 길이뿐이 아니라 평면에서부터 각 기둥의 배치에 이르기까지 모든 요소가 황급비에 따라 조화롭게 배치되어 있다.
석굴암 본존불상 및 좌도의 설계도.
단위_당척 唐尺.
괄호 안은 곡척 曲尺.
불국사 다보탑 설계도.
다보탑의 중심선에 중심을 둔 주요 원의 계열을 그리면, 반지름 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.
O1 의 반지름을 a로 하면,
O2의 반지름은
a/2√2=a/√2
O3의 반지름은
1/√2(a/√2)
O4의 반지름은
1/√2(a/2)
O5의 반지름은
1/√2(a/2√2)
거꾸로,
O5의 반지름을 A로 하면
O4의 반지름은 √2A
O3의 반지름은 2A
O2의 반지름은 2√2A
O1의 반지름은 4A
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